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 雷明85639720 




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我最近与张彧典先生交换意见的笔记%KVg.
雷  明;w9r
(二○二○年三月二十一日)M<f=*
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最近我在网上请教了张彧典先生几个问题:/HTV\
1、你是如何判断一个图是无限循环颠倒的还是有限颠倒的?(G
2、你的Z15,你是如何知道它是需要颠倒16次的?RW(%
3、Z15在颠倒过程中,曾有5次出现了A—B环,你为什么不用Z—换色程序及早结束颠倒,而一定要用16次颠倒呢?dx XY
   张先生的回复是这样的:W9ez
1、2、看给的图是否十折对称及其放大形式,是的话,Z—染色程序可约;不是的话,H—染色程序可约,按照对称性分析,顺时针或者逆时针颠倒染色不会超过9次;X
3、Z15虽然生成A—B环多次,但是为了统一程序,不再改变可约方法。才最多9次颠倒染色啊!zP5
我又问:d<cv
“那么如何判断是否是十折对称的图呢?这一点我一直不明白?”uG
张先生回复: +L`
“你说:如何判断十折对称构形?只要把构形变形,看看是否由n个五边形与n—1个五角星相间组成,就可以判断了。这一点早在我的“E—族构形的放大”一文中解析了。”}bHm
我再次提到:“可以不可以把用Z—换色程序解决的无穷循环颠倒的构形和也可以用Z—换色程序解决的有限颠倒的构形都归为一类,统一叫有环形链的构形呢?因为他们都有经过围栏顶点的环形链。以他们都有环形链为主要特征。而把没有这一特征的构形就叫无环形链的构形呢?这样构形类型也少,特征也明鲜,容易辨别。无环形链的构形解决时,可以用颠倒法(转型法),也可以直接转化成有环形链的构形解决,或直接就用Z—换色程序都可以。见我对你的第七构形,第八构形,第八构形的放大图构形的剖析。”和“我们两个是否能在这一方面统一思想。”{adz3^
张先生的回复是这样的:“我也想把非十折对称几何结构的构形转化为十折对称几何结构构形所具有的特征链A—B或者C—D环的构形,但是总觉得还需要证明这种做法是否可靠?无形中又把问题复杂化了。”“所以,我就按照构形几何结构是否十折对称,把构形分成两类,用H—染色程序解决任何点边的非十折对称构形的可约(已经上升为定理3的理论证明,不需要考虑颠倒次数的多少),用Z染色程序解决十折对称构形及其放大的可约。”4Z
现在我根据张先生给我的回复,谈谈自已的看法:Z!"/
   1、关于如何判断一个图是否是无穷循环颠倒(转型)的构形的问题:XiAs
我认为张先生的回复是不可能或者说无法实现的。在证明四色猜测时,我们是可以把埃雷拉图单独拿出来作为一个构形处理,可以看出其是一个所谓的十折对称结构的构形,也可以看出其是由n=3个五边形和n-1=3-1=2个五角星相间构成的。这是的确是表现出了埃雷拉图的特点。但在着色时,总是在最后一个顶点着色时,才能遇到不可免构形的,且这时整个图的顶点个数,也不只是埃雷拉图那样的只有不到20个,而是可能比埃雷拉图要多得多或是少得多,相互间的关系也要复杂得多的构形。能不能看清图中有没有五边形或五角星,有多少个,是很困难的。又因为“图”是具有拓朴性质的,即就是同一个埃雷拉图,不同的人就有不同的画法。比如米勒,敢峰,你和我,四个人的画法都不同。除了米勒的画法能看出有3个五边形和2个五角星外,其他3种画法都看不出有几个五边形和五角星。在你《探秘》书中第43页中你对埃雷拉图的画法,就看不出有五边形和五角星相间存在的“眉眼”,特别是看不出有五角星存在。况且要把这同一个埃雷拉图的不同画法都转化成米勒的画法,也不是一件容易的事情。所以这里我要问先生,在对某一个图着色到最后一个顶点时,如何能知道图中有没有n个五边形和n-1个五角星相间存在呢?我想是看不出来的。看不出来,就确定不了是用Z—换色程序解决,还是用H—换色程序(即颠倒法)解决?难道就不再着色了吗?3,aL>
我认为,只要这时的构形中,含有经过了围栏顶点的环形链,就可以用Z—换色程序(我叫断链交换法)进行处理,不管图是否是十折对称的,还是有没有五边形或五角星。只要把双环交叉链断开,图就变成了可约的K—构形了。~"g$
证明如下:H—构形的构成,主要的就是因为其中有双环交叉的连通链A—C和A—D,只要把这两条连通链断开了,图就成了可约的K—构形。这两双环交叉链的特征是:两链有共同起始顶点A,两链又有交叉顶点A,两链还各有自已的终了顶点C和D。若把这四个顶点中的任何一个顶点的颜色改变了,图中的双环交叉链就会断开。正好,在构形中有A—B环形链时,交换经过围栏顶点的C—D链,就改变了双环交叉链各自的终了顶点的颜色,双环交叉链就断开了;在构形中有C—D环形链时,交换经过两链起始顶点A或交叉顶点A的A—B链,也就改变了双环交叉链的共同起始顶点和交叉顶点的颜色,双环交叉链也就断开了。证毕。$j1
若构形中不含有经过围栏顶点的环形链时,就只能用颠倒法(我叫转型法)解决了(但这就得证明最大的转型次数的上界值);但也可以把无环形链的构形转化成有环形链的构形,按有环形链的构形进行解决(前几天已经给出了一个证明,这里不再多说了)。把无环形链的构形转化成有环形链的构形的证明也并不复杂,也不会造成“无形中又把问题复杂化了”的后果。HEVs
2、关于转型交换的最大转颠倒次数的上界值问题:\^q=-
张先生认为“顺时针或者逆时针颠倒染色不会超过9次”,这就意味着,同一个构形不同方向的颠倒次数之和一定不会超过18次了。这也就是说单个方向的颠倒次数最大是16交了。请问张先生,你如何解释你、我都共同得到的多个颠倒次数都大于20次的构形的这一现象呢?你又如何解释我所构造的两个方向颠倒次数都大于9的构形这一现象呢?我记得有一次,当我指出了这一问题时,你却回答说,我那个两个不同方向颠倒次数都大于9的构形是有环形A—B链的,可以用Z—换色程序进行解决,两次交换即可解决问题。但你要知道,我的这个构形,并不是你说的十折对称的构形,颠倒次数是有限的,而不是无穷的。你怎么能用解决无穷循环颠倒的构形的方法去解决这个有限颠倒的构形呢?我认为根据埃雷拉图的颠倒循环周期是20,就可以证明有限颠倒次数的构形的最大颠倒次数的上界值是42次,不是你所说的9次。因为当遇到一个构形后,不可能知道它是否是无穷循环颠倒的构形,也不可能知道从那一个方向颠倒时的颠倒次数是多还是少。而只能是从某一个方向进行连续的颠倒,在42次颠倒之内,空出了颜色的,就算是解决了问题,是有限颠倒的构形;若在42次颠倒后,仍是H—构形时,就是无穷循环颠倒的构形,再回过头来用Z—换色程序进行解决。为什么要进行42次颠倒呢?因为只有在颠倒超过了42次时,才能看到颠倒是否出现了循环。你这样连续的进行颠倒,不嫌非常的麻烦吗?如果是这样的话,你对构形分类和不分类有什么不一样呢?反正都得进行连续的颠倒,何必还要分类呢?FLt*K
3、关于H—构形的分类问题:1q
这一问题,在谈上一问题时已经涉及到了,但这里还有必要做一个专题来说一说。对于分类的原则,必须是要有能看得见、摸得着的特征条件。你把H—构形分为无穷循环颠倒的构形和有限颠倒的构形两类,给你一个H—构形,能直接看出它是那一类吗?还得要通过连续的颠倒才能知道其是那一类,但这时的问题已经得到了解决(即已进行了4—着色),还要知道它是属于那一类还有什么用呢?而我把H—构形分为有环形链的构形和无环形链的构形两类,给出一个H—构形,直接就可以看出其有没有经过围栏顶点的A—B和C—D环形链,就可以确定是用断链法解决,还是用转型法解决,或是把无环形链的构形转化成有环形链的构形后,再按有环形链的构形进行解决。按你的分类,是先统一用连续的颠倒法着色,再得到是属于那类构形的结论;而按我的分类,则是先得到是属于那类构形的结论,再分别用不同的方法进行解决。请先生想想,看那种分类方法更优越呢?如果把无穷循环颠倒的构形与有限颠倒构形中的有环形链的构形统一归为一类——有环形链的构形,这怎么是“无形中又把问题复杂化了”呢。v"R"?
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雷  明'.m
二○二○年三月二十一日于长安l{tD








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