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 张彧典 




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  [这个贴子最后由张彧典在 2020/05/26 11:04am 第 5 次编辑]=
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               [w1
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                       “球带猜想”以及三个证明)Oz:O
                                  张彧典4N
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这个是上传的 doc 格式文件 [点击查看]A&`
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                         一、球带猜想*2
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   球带猜想:假如给你一些彩带和一个地球仪,你发现每条彩带可以围住地球仪的部分区域;如果用它们将整个地球仪包裹,这些彩带的宽度加起来至少是多少?e,Q/u
    1973年,匈牙利数学家László Fejes Tóth(拉斯洛•菲杰斯•托特)指出:半径为1的单位球体被等宽的区域覆盖,所有区域的宽度总和的最小值是π。cUw
  2017年的一个下午,姜子麟同俄罗斯同事亚历山大 • 波利扬斯基(Alexandr Polyanskii)在闲聊过后,用半天时间破解了这个长达44年的数学难题。l
至少是地球仪上赤道长度的一半——这是姜子麟给出的答案,也是他就球带猜想给出的通俗版解释。qh2nW
                 二、  已知的两个研究成果3%5%
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                    1、Tarski的研究成果OX
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   László Fejes Tóth 的区域猜想与离散几何中的一些其他问题也密切相关,这些问题已在20世纪就被解决,涉及到用条带覆盖表面。其中第一个就是所谓的木板问题(Plank Problem),涉及到用平行线组成的条带覆盖住圆盘。Alfred Tarski 和 Henryk Moese 用一个简洁的方式证明了用来覆盖圆面的条带(或木板)的宽度和至少等于圆的直径。也就是说,没有比用一个宽度与圆的直径相等的木板更好的方法用来覆盖圆盘。接着,Thøger Bang 解决了用长条覆盖任意凸体的问题。也就是说,他证明了覆盖凸体的条带的总宽度至少是凸体本身的宽度,即单个能覆盖凸体的单个条带的最小宽度。如图1所示:q=mUN
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                               图1%
   Tarski证明了,一个半径为1的单位圆不能被宽度和小于2(即圆的直径)的条带完全覆盖。图中每个条带都有自己的宽度和颜色。X=MZ%U
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                2、姜子麟和 Alexandr Polyanskii的研究成果628
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   姜子麟和 Alexandr Polyanskii 处理的问题有些不同,它涉及到用某类球带来覆盖一个单位球面。具体而言,每个球带都是球面与一个特定的三维板条的交集,其中板条是关于球心对称的夹在两个平行平面之间的空间区域。或者可以不用板条,而在球面测地线的度量空间里定义球带:一个在单位球表面的宽度为 ω 的球带,是距离大圆(球面上半径等于球体半径的圆弧)不超过 ±ω/2 的点的集合,测量点与点间距离的是连接它们的最短弧。数学家必须找到能覆盖单位球面的球带上的最小宽度和。因此,宽度测量方法不同于之前被解决的问题:它被定义为弧的长度,而不是平行线或面之间的欧几里德距离。如图2所示:w
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                    图2   在球体上一个宽度为ω的区域(黄)。Uf(>/l
   姜子麟和 Polyanskii 所作出的证明是受到了 Bang 的启发,Bang 通过构造一个有限点集解决了用条带覆盖凸体的问题,该有限点集必有一个点不被任何条带覆盖。从某种意义上来说,无论是 Bang 还是姜子麟和 Polyanskii 都是通过反证法来证明的。在 Fejes Tóth 猜想的情况下,数学家假设完全覆盖球体的球带的宽度和小于 π,并试图得到矛盾点——即找到一个位于球体上的点,但又不在任何这些球带里。4_)
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                     图3   完全覆盖球体的球带。m>84bU
                     五个区域中的每个区域都有其自己的宽度和颜色。}
   姜子麟和 Polyanskii 在三维空间中构造了一组特别的点集,使得至少一个点不在木板覆盖的区域内。如果这整个点集都位于球内部,那么在球面上找另一个没被木板覆盖、也就是没被球带覆盖的点是相对容易的事。如果集合中的任何点碰巧位于球体之外,则可以用一个较大的球带代替几个较小的球带,其宽度和与较大球带的宽度相等。因此,我们可以做到在不影响宽度和的前提下,减少初始问题中球带的数量。最终,球体上的某个点会被确定为不在这些球带内。这与球带总宽度小于 π 的假设背道而驰,因此证明了 Fejes Tóth 的猜想。|~m
                            图4"
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                          三、张彧典的证明g}
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   我们根据圆球的表面积公式S=4πR² ,因为其中包含通过球心截面----平面圆的面积,RL
所以,完全可以把“球带猜想”演变成“宽带覆盖平面圆猜想”。r):q_
我们的证明思路是:把姜子麟和 Polyanskii证明中思路做了改变:<fa~-3
   (1)、把5条等宽宽带的个数变成无限n条;K5p
   (2)、把n条宽带的宽度各不相同化;9)}L:o
   (3)、把宽带的交叉覆盖演变成平行覆盖。p
   证明:如图5所示,j#a4E
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   在单位圆O中,A1, A2 ,A3 ,… ,An ,An+1 ,表示半圆弧上的n+1个分割点,T
A1-An+1 表示单位圆的直径,弦A1 A2 ,A2 A3 ,… , An An+1表示n条宽带的宽度,//pq9
那么,A1 A2’ ,  A2’ A3  ,… , An’ An+1则是n条宽带宽度在直径上的垂直射影,YB
就有A1 A2 ≥   A1 A2’ ,…,   A2 A3  ≥ A2’A3 ,An An+1 ≥An’An+1 .q!
   这样一来,以A1 A2为宽度的淡粉红色宽带 与 以A2 A3为宽度的淡蓝色宽带的Vrtp
相交覆盖,就会变成以A1’A2’为宽度的深粉红色宽带 与 以A2’A3’为宽度的Gw
深蓝色宽带的平行覆盖,…,直到以An An+1为宽度的淡绿色色宽带变成以-
An’An+1为宽度的深绿色宽带的平行覆盖,Li
   这时,n条平行的深色彩带完成了单位圆O面积的全覆盖。;U
   因此有:*1
   如果把宽带的宽度作为是宽带覆盖单位圆的长度的话,那就是_
   Tarski证明了的:“一个半径为1的单位圆不能被宽度和小于2(即圆的直径)的条带完全覆盖。”IQ
     A1 A2+A2 A3 +… + An An+1  ≥  A1 A2’+A2’A3 + ,.. + An’An+1=2RYU{T[D
   如果把宽带的宽度作为是宽带覆盖单位圆的面积的话,那就是:J
   姜子麟两人证明了的:OFVel
     A1A2+A2A3 +… + An An+1  ≥ A1 A2’+ A2’A3 + ,.. + An’An+1=πR²=π. W}
   以上两个结论中,当且仅当:单位圆的圆周被直径的两个端点A1与An+1分割,即宽度恰好为直径A1An+1的一条宽带覆盖时,取等号。'Qi"








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 雷明85639720 




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  [这个贴子最后由雷明85639720在 2020/05/25 07:20pm 第 2 次编辑]FRQ#bz
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我也来讨论“球带猜想”>KVH
雷明©中国博士网 -- 中国博士网 www.chinaphd.com  CmYr
二○二○年五月二十四日%*Q
按张彧典先生所说的,球带猜想是:“一个半径为1的单位球面被几个等宽的球带复盖,这些球带的宽度总和不小于π。”这是匈牙利数学家Laszlo Fejes Tothrn在1973年提出的。:Zi]
现在先不说这个猜想对不对,我们进行分析如下:.:o7,
1、球面被“几个”“等宽”的“球带”复盖,只能理解为球面处处只能被一层球带所盖;z3sL3
2、这些“球带”的“宽度”的“总和”,一定是一个“长度”的概念,与球大圆的面积是无关的;g[
3、“球带”的“宽度”是在球大圆上的、球带的上、下两个圆间的距离。这个“距离”不是直线,而是球大圆上的一段弧长;l_ Q=
4、“几个”“等宽”的“球带”,也可能是“一个”(去掉球的南、北两个极点的球面,就可认为是一个“球带”),也可能是“无数多个”(同样也得去掉球的南、北两个极点,否则,括含南、北两个极点的区域就不是“球带”,而是“球冠”了;ej
5、现在可以看出,“几个”“等宽”的“球带”的“宽”的“总和”是什么概念了,它就是去掉南、北两极的一条“经线”的长度,也就是一个球大圆的一半去掉一个“点”的长度;Nbj\
6、由于球的径是1,球大圆的长是2π,球大圆的一半就是π,“几个等宽的球带的宽度之和”比球大圆的一半还少了一个“点”,所以只能说“几个等宽的球带的宽度之和”是小于π的;Oau
7、这就说明了Laszlo Fejes Tothrn提出的球带猜想“一个半径为1的单位球面被几个等宽的球带复盖,这些球带的宽度总和不小于π”是错误的;3#`A\y
8、张先生的博文中所画的两个图都是错误的,张先生的证明也是错误的。6_Xn








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 雷明85639720 




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  [这个贴子最后由雷明85639720在 2020/05/25 05:24pm 第 1 次编辑]OM
©中国博士网 -- 中国博士网 www.chinaphd.com  Tp/}9T
1、球面上没有任何一块那怕是无穷小的区域是平面的,球面处处都是曲面;/
2、因此用平面带子是不可能“复盖”(紧贴)在球面上的,平面带子缠在球面上后,与球面接触的不是一条带子,而一条闭合的曲线——球大圆;1<l
3、能复盖在球面上的带子必须是与球面有相同曲率半径的球带,而不是曲率半径无穷大的平面带子;9wF97
4、所谓复盖只能是复盖一层(一次),不能复盖多层(多次);a
5、“球带的宽度”在这里不是平面几何中的“距离”概念,而是垂直于球带的上、下两个圆面间的一段球大圆的弧长,是曲线而不是直线;VOE_F
6、各球带的宽度的总和一定是小于球大圆的一半的长度,即小于π·r的,由于r=1,所以就有各球带的宽度的总和一定是小于π的;ykK\
7、各球带的宽度的总和是一个长度量值,与面积没有任何关系,张先生把它与球大圆的面积扯在一起是不对的;mW
8、如果是用同样宽的球带,且可以多层复盖,那么总存在着一个球大圆上的各带子都是单层的,如张先生最原始的文章中所引用的那一张彩图那样的复盖方法,该图的最外一个球大圆中各球带都是单层复盖。这样的情况下,各球带的宽度的总和才一定是等于π的。!CmGmu
9、如果任何地方都可以多次复盖,那么各球带的宽度的总和一定是大于等于π的,最小是π。2C








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  1、复盖球面的带子必须是球带,而不是一般的平面带子;q"`zk
2、无论怎么复盖,各球带宽度的总合一定是不会小于π•r的,由于这里的r=1,所以各球带宽度的总合一定是不会小于π的。B m-H
3、匈牙利数学家László Fejes Tóth(拉斯洛•菲杰斯•托特)的结论:所有球带的“宽度总和的最小值是π”是正确的。UYS_dd
4、姜子麟同俄罗斯同事亚历山大•波利扬斯基(Alexandr Polyanskii)给出的答案:“至少是地球仪上赤道长度的一半”也是正确的。姜子麟和Alexandr Polyanskii处理的问题的方法也是正确的,复盖球面必须是球面带子,而不是平面带子。yPv`a2
5、Bang的观点是对的,用球带复盖球面,球面上必须有南、北两个极点是复盖不了的,否则,得盖球面的就不完全是球带了,而是包含有两个“球冠”,把这两个球冠的由心点(球面的南北极点)去掉,于完就可以视为球带。这在我的第一篇评论中已经谈过了。3
6、张先生的文章中有“凸体”的概念,不明白这是什么?还有凸体本身的宽度,不明白这都是在说什么?(cI^|
7、有这样一段话,不知是张先生说的,还是谁说的:“姜子麟和 Polyanskii在三维空间中构造了一组特别的点集,使得至少一个点不在木板覆盖的区域内。如果这整个点集都位于球内部,那么在球面上找另一个没被木板覆盖、也就是没被球带覆盖的点是相对容易的事。如果集合中的任何点碰巧位于球体之外,则可以用一个较大的球带代替几个较小的球带,其宽度和与较大球带的宽度相等。因此,我们可以做到在不影响宽度和的前提下,减少初始问题中球带的数量。最终,球体上的某个点会被确定为不在这些球带内。这与球带总宽度小于π的假设背道而驰,因此证明了Fejes Tóth的猜想。”这段话不知是在说什么,张先生是否可以交换?w`
我认为,如果复盖可以重复(多层、多次),结论应是球带宽度的和不小于π;如果复盖是不能重复的平行复盖(只能是单层),结论应是球带宽度的和是小于π的。Qe
8、张先生的证明中,分析得也都很对。复盖也只能是单层的球带平行复盖。而张先生的结论只能说与Tarski证明了的:“一个半径为1的单位圆不能被宽度和小于2(即圆的直径)的条带完全覆盖。”的结论是相同的;而不能说与姜子麟等二人证明了结论也是相同的。姜子麟等二人的结论是:球带宽度的总和“至少是地球仪上赤道长度的一半”,这里的地球仪的半径是1,赤道的长度应是2π,那么“地球仪上赤道长度的一半”就应是π了。而张先生这里的结论却是“一个半径为1的单位圆不能被宽度和小于2(即圆的直径)的条带完全覆盖。”这怎么能说是相同的呢?况且张先生把长度与面积扯在一起也是不对的。+








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